1. Demonstre a proposição abaixo:
Proposição: Seja (G, *) um grupo. Para que uma parte não vazio H subset G seja um subgrupo de G, é nacessário e suficiente que a * b^prime seja um elemento de H sempre que a e b pertencerem a esse conjunto.

Passo 1

O enunciado afirma que, num grupo (G,*), um subconjunto não vazio Hsubset G é subgrupo de G se, e somente se, para todo a,bin H tivermos
a * b' in H,
onde b' é o inverso de b em G. Vamos provar as duas implicações dessa equivalência.

Passo 2

(Prova da condição necessária) Suponha que H seja subgrupo de G. Então H é fechado em relação ao produto e contém inversos. Dado a,bin H, temos b'in H e, pela clausura de H em *,
a*b'in H
Logo, a condição é necessária.

Passo 3

(Prova da condição suficiente – parte 1: identidade) Agora suponha Hneqemptyset e que para todo a,bin H valha a*b'in H. Escolha algum ain H. Aplicando a hipótese com a no lugar de b,
a * a' in H
Mas a * a' = e (identidade de G), portanto ein H.

Passo 4

(Prova da condição suficiente – parte 2: inversos) Para mostrar que H contém inversos, tome qualquer ain H. Como já temos ein H, aplicamos a condição com (e,a):
e * a' in H Longrightarrow a'in H

Passo 5

(Prova da condição suficiente – parte 3: clausura) Finalmente, para ver que H é fechado sob *, tome a,bin H. Já sabemos que b'in H, então aplicando a condição com (a,b') obtemos
a * (b')' in H
Como (b')'=b, segue a*bin H.

Resposta

Portanto, H é subgrupo de G se, e somente se, para todos a,bin H vale a*b'in H.

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