- Demonstre a proposição abaixo:
Proposição: Seja
um grupo. Para que uma parte não vazio
seja um subgrupo de
, é nacessário e suficiente que
seja um elemento de
sempre que
e
pertencerem a esse conjunto.
Passo 1
O enunciado afirma que, num grupo
, um subconjunto não vazio
é subgrupo de
se, e somente se, para todo
tivermos
onde
é o inverso de
em
. Vamos provar as duas implicações dessa equivalência.
Passo 2
(Prova da condição necessária) Suponha que
seja subgrupo de
. Então
é fechado em relação ao produto e contém inversos. Dado
, temos
e, pela clausura de
em
,
Logo, a condição é necessária.
Passo 3
(Prova da condição suficiente – parte 1: identidade) Agora suponha
e que para todo
valha
. Escolha algum
. Aplicando a hipótese com
no lugar de
,
Mas
(identidade de
), portanto
.
Passo 4
(Prova da condição suficiente – parte 2: inversos) Para mostrar que
contém inversos, tome qualquer
. Como já temos
, aplicamos a condição com
:
Passo 5
(Prova da condição suficiente – parte 3: clausura) Finalmente, para ver que
é fechado sob
, tome
. Já sabemos que
, então aplicando a condição com
obtemos
Como
, segue
.
Resposta
Portanto,
é subgrupo de
se, e somente se, para todos
vale
.