Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
; multiplicação
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Para isso precisamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento: tome quaisquer
. Como
e a multiplicação usual em
é fechada, basta checar que o produto nunca sai de
. De fato, as possibilidades são
todas em
. Logo, o conjunto é fechado.
Passo 3
A associatividade vem diretamente da associatividade da multiplicação em
: para quaisquer
Passo 4
Buscamos o elemento neutro
tal que
para todo
. Na multiplicação usual em
, o neutro é
, e de fato
e satisfaz
Passo 5
Finalmente, cada elemento deve ter inverso em
. Vemos que
pois
. Assim, todo elemento de
tem inverso em
.
Resposta
O conjunto
com a operação de multiplicação é um grupo.