Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
D=-1,1; multiplicação

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
D = -1,1
com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Para isso precisamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento: tome quaisquer a,bin D. Como DsubsetR e a multiplicação usual em R é fechada, basta checar que o produto nunca sai de -1,1. De fato, as possibilidades são
1cdot1=1,1cdot(-1)=-1,(-1)cdot1=-1,(-1)cdot(-1)=1,
todas em D. Logo, o conjunto é fechado.

Passo 3

A associatividade vem diretamente da associatividade da multiplicação em R: para quaisquer a,b,cin D
(acdot b)cdot c = acdot(bcdot c)

Passo 4

Buscamos o elemento neutro e tal que ecdot a = acdot e = a para todo ain D. Na multiplicação usual em R, o neutro é 1, e de fato 1in D e satisfaz
1cdot a = acdot1 = aforall ain D

Passo 5

Finalmente, cada elemento deve ter inverso em D. Vemos que
1^-1 = 1in D, (-1)^-1 = -1in D,
pois (-1)cdot(-1)=1. Assim, todo elemento de D tem inverso em D.

Resposta

O conjunto D=-1,1 com a operação de multiplicação é um grupo.

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