Calcule o ângulo entre
e
, sabendo que
e que o ângulo entre
e
é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa encontrar o ângulo entre os vetores
e
. Sabemos que a magnitude de
é
, a de
é
, e o ângulo entre
e
é
. Vamos precisar usar a fórmula do produto escalar e propriedades dos vetores para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles. Vamos usar essa fórmula para encontrar o produto escalar entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Distribuindo, temos:
Sabendo que
, isso simplifica para:
Passo 4
Vamos substituir os valores das magnitudes:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a magnitude dos vetores
e
. Usamos a fórmula:
Primeiro, para
:
Sabendo que
, temos:
Para
:
Passo 6
Agora, usando a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo
entre
e
:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Resposta
O ângulo entre
e
é
.