Calcule o ângulo entre u+v e u-v, sabendo que |u|=raiz3,|v|=1 e que o ângulo entre u e v é 30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa encontrar o ângulo entre os vetores u + v e u - v. Sabemos que a magnitude de u é raiz3, a de v é 1, e o ângulo entre u e v é 30^circ. Vamos precisar usar a fórmula do produto escalar e propriedades dos vetores para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
onde theta é o ângulo entre eles. Vamos usar essa fórmula para encontrar o produto escalar entre u + v e u - v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar (u + v) cdot (u - v). Distribuindo, temos:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabendo que u cdot v = v cdot u, isso simplifica para:
u cdot u - v cdot v

Passo 4

Vamos substituir os valores das magnitudes:
u cdot u = |u|^2 = (raiz3)^2 = 3
v cdot v = |v|^2 = 1^2 = 1
Então:
(u + v) cdot (u - v) = 3 - 1 = 2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a magnitude dos vetores u + v e u - v. Usamos a fórmula:
|a pm b| = raiz|a|^2 + |b|^2 pm 2 a cdot b
Primeiro, para u + v:
|u + v| = raiz3 + 1 + 2 cdot (raiz3 cdot 1 cdot cos(30^circ))
Sabendo que cos(30^circ) = raiz32, temos:
|u + v| = raiz4 + 2 cdot raiz3 cdot raiz32 = raiz4 + 3 = raiz7
Para u - v:
|u - v| = raiz3 + 1 - 2 cdot (raiz3 cdot 1 cdot cos(30^circ)) = raiz4 - 3 = raiz1 = 1

Passo 6

Agora, usando a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo theta entre u + v e u - v:
(u + v) cdot (u - v) = |u + v| cdot |u - v| cdot cos(theta)
Substituindo os valores que encontramos:
2 = raiz7 cdot 1 cdot cos(theta)
Então:
cos(theta) = 2raiz7

Resposta

O ângulo entre u + v e u - v é theta = cos^-1(2raiz7) approx 35,54^circ.

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