Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(2 x+y, z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que uma transformação linear específica é sobrejetiva. A matéria envolvida aqui é transformações lineares e o conceito de sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como verificar isso para a transformação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetiva. Uma transformação linear T: R^n R^m é sobrejetiva se, para todo ponto b em R^m , existe pelo menos um ponto a em R^n tal que T(a) = b . Em outras palavras, a transformação “cobre” todo o espaço de chegada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à transformação dada:
T: R^3 R^2, T(x, y, z) = (2x + y, z)
Queremos mostrar que para qualquer vetor (a, b) em R^2 , existe um vetor (x, y, z) em R^3 tal que:
T(x, y, z) = (a, b)

Passo 4

Vamos escrever as equações correspondentes:
  1. 2x + y = a
  2. z = b
Precisamos encontrar valores de x , y e z que satisfazem essas equações para quaisquer a e b .

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  • Da segunda equação, já temos z = b . Simples assim!
  • Da primeira equação, podemos escolher um valor para x e resolver para y . Por exemplo, vamos escolher x = 0 . Então:
2(0) + y = a implies y = a

Passo 6

Portanto, para qualquer (a, b) em R^2 , podemos escolher (x, y, z) = (0, a, b) em R^3 de modo que:
T(0, a, b) = (2(0) + a, b) = (a, b)

Passo 7

Como conseguimos encontrar um vetor em R^3 que mapeia para qualquer vetor em R^2 , isso mostra que a transformação T é sobrejetiva.

Resposta

A transformação T(x, y, z) = (2x + y, z) é sobrejetiva.

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