Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que uma transformação linear específica é sobrejetiva. A matéria envolvida aqui é transformações lineares e o conceito de sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como verificar isso para a transformação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetiva. Uma transformação linear
é sobrejetiva se, para todo ponto
em
, existe pelo menos um ponto
em
tal que
. Em outras palavras, a transformação “cobre” todo o espaço de chegada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à transformação dada:
Queremos mostrar que para qualquer vetor
em
, existe um vetor
em
tal que:
Passo 4
Vamos escrever as equações correspondentes:
Precisamos encontrar valores de
,
e
que satisfazem essas equações para quaisquer
e
.
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
- Da segunda equação, já temos
. Simples assim! - Da primeira equação, podemos escolher um valor para
e resolver para . Por exemplo, vamos escolher . Então:
Passo 6
Portanto, para qualquer
em
, podemos escolher
em
de modo que:
Passo 7
Como conseguimos encontrar um vetor em
que mapeia para qualquer vetor em
, isso mostra que a transformação
é sobrejetiva.
Resposta
A transformação
é sobrejetiva.