Encontre uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja
Pelo teorema núcleo–imagem, temos
, logo
. Precisamos achar dois funcionais lineares independentes em
cujo núcleo comum seja exatamente esse subespaço de dimensão 1.
Passo 2
Um funcional genérico em
é
Para que
anule
deve valer
Assim os coeficientes satisfazem
, e o espaço desses funcionais tem dimensão 2.
Passo 3
Escolhemos duas aplicações lineares independentes que anulam
:
Claramente
e
, e
são linearmente independentes.
Passo 4
Definimos então
Essa é uma aplicação linear de
em
de posto 2, pois
e
são linhas independentes.
Passo 5
Verificação do núcleo:
Logo
como exigido.
Resposta
Uma transformação linear que funciona é