Encontre uma transformação linear T: R^3 R^2 tal que N u c(T)=[(1,1,0)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^2 cujo núcleo seja
ker(T)=span(1,1,0)
Pelo teorema núcleo–imagem, temos dimker T=1, logo rank,T=3-1=2. Precisamos achar dois funcionais lineares independentes em (R^3)^* cujo núcleo comum seja exatamente esse subespaço de dimensão 1.

Passo 2

Um funcional genérico em R^3 é
f(x,y,z)=a,x + b,y + c,z
Para que f anule (1,1,0) deve valer
f(1,1,0)=acdot1 + bcdot1 + ccdot0= a + b = 0
Assim os coeficientes satisfazem b=-a, e o espaço desses funcionais tem dimensão 2.

Passo 3

Escolhemos duas aplicações lineares independentes que anulam (1,1,0):
f1(x,y,z)=x-y, f2(x,y,z)=z
Claramente f1(1,1,0)=0 e f2(1,1,0)=0, e f1,f2 são linearmente independentes.

Passo 4

Definimos então
T(x,y,z) = l(f1(x,y,z),,f2(x,y,z)r) = (,x-y,;z,)
Essa é uma aplicação linear de R^3 em R^2 de posto 2, pois (1,-1,0) e (0,0,1) são linhas independentes.

Passo 5

Verificação do núcleo:
T(x,y,z)=(0,0) ;Long<=ftrightarrow; x-y=0, z=0 ;Long<=ftrightarrow; (x,y,z)=(t,t,0)=t,(1,1,0)
Logo
ker(T)=span(1,1,0),
como exigido.

Resposta

Uma transformação linear que funciona é
T(x,y,z) = (,x - y,;z,)

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