Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Verifique que:
2 u cdot v=|u|^2+|v|^2-|u-v|^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) . O objetivo é verificar uma identidade envolvendo o produto escalar e as normas desses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto escalar e a norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar u cdot v é dado por:
u cdot v = x1x2 + y1y2 + z1z2
E a norma de um vetor u é:
|u| = raizx1^2 + y1^2 + z1^2

Passo 3

Vamos calcular a norma do vetor u - v . Primeiro, subtraímos os vetores:
u - v = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
Agora, calculamos a norma desse vetor:
|u - v| = raiz(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2
Elevando ao quadrado, temos:
|u - v|^2 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2

Passo 4

Vamos expandir |u - v|^2 :
|u - v|^2 = x1^2 - 2x1x2 + x2^2 + y1^2 - 2y1y2 + y2^2 + z1^2 - 2z1z2 + z2^2
Podemos reorganizar os termos:
|u - v|^2 = (x1^2 + y1^2 + z1^2) + (x2^2 + y2^2 + z2^2) - 2(x1x2 + y1y2 + z1z2)
Isso fica:
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2 u cdot v

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar 2 u cdot v :
2 u cdot v = |u|^2 + |v|^2 - |u - v|^2
E aí, verificamos que a identidade está correta!

Resposta

2 u cdot v = |u|^2 + |v|^2 - |u - v|^2

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