Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, com k eq 0
v=(2025,2025,0), u=(0,4050,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o ângulo entre dois vetores: v = (2025, 2025, 0) e u = (0, 4050, 0). Isso está relacionado ao conteúdo de Produto Escalar de Vetores e como encontrar o ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do produto escalar e da fórmula que relaciona o produto escalar ao cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Esse produto nos ajuda a relacionar os vetores e encontrar o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores v e u:
v cdot u = (2025)(0) + (2025)(4050) + (0)(0) = 0 + 8.203.125 + 0 = 8.203.125

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular os módulos de v e u.

Passo 5

Calculando o módulo de v:
|v| = raiz2025^2 + 2025^2 + 0^2 = raiz4.100.625 + 4.100.625 + 0 = raiz8.201.250 approx 2860,12
Calculando o módulo de u:
|u| = raiz0^2 + 4050^2 + 0^2 = raiz0 + 16.402.500 + 0 = raiz16.402.500 approx 4050

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar ao cosseno do ângulo theta entre os vetores:
v cdot u = |v| cdot |u| cdot cos(theta)
Queremos encontrar theta, então vamos isolar o cosseno:
cos(theta) = v cdot u|v| cdot |u|

Passo 7

Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 8.203.1252860,12 times 4050 approx 8.203.12511.586.486 approx 0,7091

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0,7091) approx 44°

Resposta

O ângulo entre os vetores v e u é aproximadamente 44 graus.

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