Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, com k eq 0
v=(k, k, 0), u=(0, k, k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o ângulo entre dois vetores: v = (k, k, 0) e u = (0, k, k), onde k neq 0. A matéria que vamos usar aqui é Vetores no Espaço e, mais especificamente, como encontrar o ângulo entre dois vetores. Para isso, vamos precisar usar o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ele também está relacionado ao ângulo theta entre os vetores pela fórmula:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde |a| e |b| são as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre v e u:
v cdot u = (k)(0) + (k)(k) + (0)(k) = 0 + k^2 + 0 = k^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular as normas dos vetores v e u. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular |v|:
|v| = raizk^2 + k^2 + 0^2 = raiz2k^2 = kraiz2
E agora |u|:
|u| = raiz0^2 + k^2 + k^2 = raiz2k^2 = kraiz2

Passo 5

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do ângulo:
v cdot u = |v| cdot |u| cdot cos(theta)
Substituindo os valores que encontramos:
k^2 = (kraiz2) cdot (kraiz2) cdot cos(theta)
Simplificando:
k^2 = 2k^2 cdot cos(theta)

Passo 6

Agora, vamos isolar cos(theta):
cos(theta) = k^22k^2 = 12

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(12)
Sabemos que arccos(12) = 60^circ.

Resposta

O ângulo entre os vetores v e u é 60^circ.

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