Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o ângulo entre dois vetores:
e
, onde
. A matéria que vamos usar aqui é Vetores no Espaço e, mais especificamente, como encontrar o ângulo entre dois vetores. Para isso, vamos precisar usar o produto escalar e as normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Ele também está relacionado ao ângulo
entre os vetores pela fórmula:
Onde
e
são as normas (ou módulos) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as normas dos vetores
e
. A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular
:
E agora
:
Passo 5
Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do ângulo:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Sabemos que
.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
.