Demonstre:
A cup(A^comp<=ment cap B)=A cup B

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
A cup l(A^comp<=mentcap Br) ;=; Acup B
Usaremos prova por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Provar
A cup l(A^comp<=mentcap Br);subseteq;Acup B
Seja xin A cup l(A^comp<=mentcap Br). Então ou
  1. xin A, ou
  2. xin A^comp<=ment e xin B.
    No caso 1, xin Asubseteq Acup B.
    No caso 2, xin Bsubseteq Acup B.
    Logo em todo caso xin Acup B. Portanto
A cup l(A^comp<=mentcap Br);subseteq;Acup B

Passo 3

Provar
Acup B;subseteq;A cup l(A^comp<=mentcap Br)
Seja xin Acup B. Então ou
  1. xin A, ou
  2. xin B e xnotin A.
    No caso 1, xin Asubseteq A cup (A^comp<=mentcap B).
    No caso 2, xin B e xin A^comp<=ment, logo xin A^comp<=mentcap Bsubseteq A cup (A^comp<=mentcap B).
    Assim em todo caso xin A cup (A^comp<=mentcap B). Portanto
Acup B;subseteq;A cup l(A^comp<=mentcap Br)

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões
A cup l(A^comp<=mentcap Br);subseteq;Acup B e Acup B;subseteq;A cup l(A^comp<=mentcap Br),
concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

A cup l(A^comp<=mentcap Br) ;=; Acup B

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