Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, com a, b, c, d, k eq 0.
v=(d, k d), u=(k d, d)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores
vec v = (d,,kd) e vec u = (kd,,d), sabendo que dneq0 e kneq0.
O conteúdo utilizado será a fórmula do produto escalar em termos de ângulo:
vec vcdotvec u = |vec v|,|vec u|costheta

Passo 2

Calculamos o produto escalar
vec vcdotvec u = dcdot(kd) + (kd)cdot d = kd^2 + kd^2 = 2kd^2

Passo 3

Agora as normas:
|vec v| = raizd^2 + (kd)^2 = |d|raiz1 + k^2, |vec u| = raiz(kd)^2 + d^2 = |d|raiz1 + k^2
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|vec v|,|vec u| = d^2,(1 + k^2),
pois d^2 = |d|^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto escalar para extrair costheta:
costheta = vec vcdotvec u|vec v|,|vec u| = 2kd^2d^2,(1 + k^2) = 2k1 + k^2
Portanto
theta = arccos!gl(2k1 + k^2gr)

Resposta

theta = arccos!gl(2k1 + k^2gr)

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