Considere um paralelepípedo definido pelos vetores v=(0,1,0), u=(3,2,4), w=(4,2,1). Calcule:
a) O volume do paralelepípedo.
b) A área total de suas faces.

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área total de um paralelepípedo definido pelos vetores vec v=(0,1,0), vec u=(3,2,4) e vec w=(4,2,1). Vamos usar produto misto para o volume e normas de produtos vetoriais para as áreas das faces.

Passo 2

Para achar o volume, usamos o produto misto vec vcdot(vec utimesvec w). Primeiro calculamos vec utimesvec w pelo determinante:
vec utimesvec w= i & j & k 3 & 2 & 4 4 & 2 & 1 = i(2cdot1-4cdot2)- j(3cdot1-4cdot4)+ k(3cdot2-2cdot4) =-6, i+13, j-2, k
Agora fazemos o produto escalar com vec v=(0,1,0):
vec vcdot(vec utimesvec w)= (0,1,0)cdot(-6,13,-2)=0times(-6)+1times13+0times(-2)=13
O volume é o valor absoluto desse resultado: lvert13rvert=13.

Passo 3

Para a área total precisamos das áreas de cada face, que são paralelogramos dados pelos pares (vec u,vec v), (vec v,vec w) e (vec w,vec u). A área de cada paralelogramo é lVertvec atimesvec brVert, e há duas faces iguais de cada tipo.

Passo 4

Vamos calcular cada produto vetorial e sua norma:
  1. vec utimesvec v:
vec utimesvec v= i & j & k 3 & 2 & 4 0 & 1 & 0 = -4, i+0, j+3, k=(-4,0,3),
lVertvec utimesvec vrVert=raiz(-4)^2+0^2+3^2=5
  1. vec vtimesvec w:
vec vtimesvec w= i & j & k 0 & 1 & 0 4 & 2 & 1 =1, i-0, j-4, k=(1,0,-4),
lVertvec vtimesvec wrVert=raiz1^2+0^2+(-4)^2=raiz17
  1. vec wtimesvec u (ou seja, troca de ordem de vec utimesvec w, mas norma igual):
lVertvec wtimesvec urVert=lVert(-vec utimesvec w)rVert=lVert(6,-13,2)rVert=raiz6^2+(-13)^2+2^2=raiz209

Passo 5

Somando as áreas de um conjunto de faces e multiplicando por 2 (pois são faces opostas iguais):
Área total=2l(5+raiz17+raiz209r) Á

Resposta

a) 13; b) 2l(5+raiz17+raiz209r).

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