Demonstre:
A cap B=A backslash(A backslash B)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade de conjuntos \r
;Acap B ;=; Asetminusl(Asetminus Br) \r
O conteúdo principal é operação de interseção e diferença de conjuntos. A estratégia clássica é provar dupla inclusão: \r
  1. Acap Bsubseteq Asetminus(Asetminus B)
  2. Asetminus(Asetminus B)subseteq Acap B

Passo 2

Provar Acap Bsubseteq Asetminus(Asetminus B). \r
Seja xin Acap B. Então \r
;xin Ae xin B \r
Para estar em Asetminus B, seria preciso ter xin A e xnotin B. Mas sabemos que xin B, logo não é possível xin Asetminus B. Portanto \r
;xnotin Asetminus BLongrightarrow xin Asetminusl(Asetminus Br)

Passo 3

Provar Asetminus(Asetminus B)subseteq Acap B. \r
Seja xin Asetminus(Asetminus B). Então \r
;xin Ae xnotin (Asetminus B) \r
A negação de “ xin A e xnotin B” é “ xnotin A ou xin B”. Como já temos xin A, forçadamente deve ocorrer xin B. Assim \r
;xin Ae xin BLongrightarrow xin Acap B

Passo 4

Dos passos anteriores obtemos as duas inclusões \r
;Acap Bsubseteq Asetminus(Asetminus B)e Asetminus(Asetminus B)subseteq Acap B, \r
logo por princípio de bi-inclusão \r
;Acap B = Asetminusl(Asetminus Br)

Resposta

;Acap B = Asetminusl(Asetminus Br)

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