Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, operatornamecom a, b, c, d, k neq 0.
vecv=(b, b, 0), vecu=(0,2 b, 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores vec v=(b,b,0) e vec u=(0,2b,0), sabendo que bneq0. Esse cálculo envolve usar o produto escalar e as normas dos vetores para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

O produto escalar de dois vetores vec v=(v1,v2,v3) e vec u=(u1,u2,u3) é dado por vec vcdotvec u = v1u1+v2u2+v3u3. Aqui temos:
vcdot u = bcdot0 + bcdot2b + 0cdot0 = 2b^2

Passo 3

A norma de um vetor vec v=(v1,v2,v3) é |vec v|=raizv1^2+v2^2+v3^2. Calculando para cada um:
|vec v| = raizb^2+b^2+0^2 = |b|raiz2,
|vec u| = raiz0^2+(2b)^2+0^2 = 2|b|

Passo 4

A fórmula do cosseno do ângulo theta entre vec v e vec u é
costheta = vec vcdotvec u|vec v|,|vec u|
Substituindo os valores encontrados:
costheta = 2b^2(|b|raiz2)(2|b|) = 2b^22b^2raiz2 = 1raiz2

Passo 5

Para encontrar theta, fazemos theta = arccos(1/raiz2), o que dá
theta = pi4

Resposta

theta = tfracpi4

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