Sejam u =[r4 -1 4] e A=[rrr2 & 5 & -1 0 & 1 & -1 1 & 2 & 0]. O vetor u pertence ao subconjunto de R^3 gerado pelas colunas de A? Por que?

Passo 1

Resumindo, temos o vetor
u = 4 -1 4
e a matriz
A = 2 & 5 & -1 0 & 1 & -1 1 & 2 & 0,
e queremos saber se u pertence ao subespaço de R^3 gerado pelas colunas de A. Isso equivale a verificar se existe x = (x,y,z)^T tal que Ax = u.

Passo 2

Escrevemos o sistema linear
A x = u Long<=ftrightarrow 2x + 5y - z = 4, 20x + y - z = -1, 2x + 2y + 0z = 4

Passo 3

Da segunda equação temos
y - z = -1 Longrightarrow z = y + 1

Passo 4

Substituindo z = y+1 na terceira equação obtemos
x + 2y = 4

Passo 5

Ainda com z = y+1, substituímos na primeira equação e temos
2x + 5y - (y+1) = 4 Longrightarrow 2x + 4y = 5 Longrightarrow x + 2y = tfrac52

Passo 6

Comparando as duas fórmulas para x + 2y, vemos que elas são incompatíveis:
x + 2y = 4 e x + 2y = tfrac52
Logo o sistema é inconsistente e não há solução.

Resposta

O vetor u não pertence ao subespaço de R^3 gerado pelas colunas de A, pois o sistema Ax=u não admite solução.

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