Dados os pontos , e e .
a) Determine vetores e o cosseno do ângulo formado entre eles.
b) Encontre o vetor que representa a Projeção de C D sobre A B.
c) Determine o valor de a e b para que a i+b j=3 A B-2 C D. Onde i e j são vetores ortonormais.
d) Determine um versor de C D.
e) Prove que A B é perpendicular a plang<= 1,-52).
Passo 1
Temos os pontos A(2,1), B(-3,-1), C(-1,2) e D(-3,4). O conteúdo da matéria envolve operações com vetores no plano: diferença de coordenadas para obter vetores, produto escalar para cosseno e ortogonalidade, fórmula de projeção, e construção de versor. Vamos usar definição de módulo, produto escalar e projeção ortogonal.
Passo 2
Calculamos os vetores subtraindo coordenadas:
Para AB:
AB=B-A=(-3-2,,-1-1)=(-5,-2)
Para CD:
CD=D-C=(-3+1,,4-2)=(-2,2)
Passo 3
Para achar o cosseno do ângulo entre AB e CD, usamos
Para obter o versor de CD, dividimos pelo seu módulo 2raiz2:
uCD=CD|CD|=(-2,2)2raiz2=l(-1raiz2,1raiz2r)
Passo 7
Para provar que AB é perpendicular a p=(1,-tfrac52), calculamos o produto escalar:
ABcdotp=(-5)cdot1+(-2)cdotl(-tfrac52r)=-5+5=0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.
Resposta
a) AB=(-5,-2), CD=(-2,2) e costheta=tfrac3raiz58. b) projAB(CD)=l(-tfrac3029,-tfrac1229r). c) a=-11, b=-10. d) Versor de CD: l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). e) ABperpp pois ABcdotp=0.