Dados os pontos A(2,1), B(-3,-1) e C(-1,2) e D(-3,4).
a) Determine vetores A B e C D e o cosseno do ângulo formado entre eles.
b) Encontre o vetor que representa a Projeção de C D sobre A B.
c) Determine o valor de a e b para que a i+b j=3 A B-2 C D. Onde i e j são vetores ortonormais.
d) Determine um versor de C D.
e) Prove que A B é perpendicular a plang<= 1,-52).

Passo 1

Temos os pontos A(2,1), B(-3,-1), C(-1,2) e D(-3,4). O conteúdo da matéria envolve operações com vetores no plano: diferença de coordenadas para obter vetores, produto escalar para cosseno e ortogonalidade, fórmula de projeção, e construção de versor. Vamos usar definição de módulo, produto escalar e projeção ortogonal.

Passo 2

Calculamos os vetores subtraindo coordenadas:
Para AB:
AB=B-A=(-3-2,,-1-1)=(-5,-2)
Para CD:
CD=D-C=(-3+1,,4-2)=(-2,2)

Passo 3

Para achar o cosseno do ângulo entre AB e CD, usamos
costheta=ABcdotCD|AB|,|CD|
Calculamos o produto escalar e os módulos:
ABcdotCD=(-5)(-2)+(-2)(2)=10-4=6,
|AB|=raiz(-5)^2+(-2)^2=raiz29, |CD|=raiz(-2)^2+2^2=2raiz2
Logo
costheta=6raiz29,(2raiz2)=3raiz58

Passo 4

Para projetar CD sobre AB usamos
projAB(CD)=CDcdotAB|AB|^2,AB
Como CDcdotAB=6 e |AB|^2=29,
projAB(CD)=629(-5,-2)=l(-3029,-1229r)

Passo 5

Para encontrar a e b tais que
a,i+b,j=3AB-2CD,
calculamos
3AB=3(-5,-2)=(-15,-6), -2CD=-2(-2,2)=(4,-4),
3AB-2CD=(-15+4,,-6-4)=(-11,-10)
Logo a=-11 e b=-10.

Passo 6

Para obter o versor de CD, dividimos pelo seu módulo 2raiz2:
uCD=CD|CD|=(-2,2)2raiz2=l(-1raiz2,1raiz2r)

Passo 7

Para provar que AB é perpendicular a p=(1,-tfrac52), calculamos o produto escalar:
ABcdotp=(-5)cdot1+(-2)cdotl(-tfrac52r)=-5+5=0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Resposta

a) AB=(-5,-2), CD=(-2,2) e costheta=tfrac3raiz58. b) projAB(CD)=l(-tfrac3029,-tfrac1229r). c) a=-11, b=-10. d) Versor de CD: l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). e) ABperpp pois ABcdotp=0.

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