Calcule o ângulo entre os vetores u=(4,3,5) e v=(1,2,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo entre dois vetores, nesse caso, u = (4, 3, 5) e v = (1, 2, 1). Para isso, vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vamos explicando passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é uma operação que multiplica componentes correspondentes dos vetores e soma os resultados. A fórmula é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Então, substituindo os valores:
u cdot v = (4)(1) + (3)(2) + (5)(1) = 4 + 6 + 5 = 15

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as normas (ou módulos) dos vetores u e v. A norma de um vetor é a sua “tamanho” e é calculada usando a seguinte fórmula:
||u|| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Vamos calcular para u:
||u|| = raiz4^2 + 3^2 + 5^2 = raiz16 + 9 + 25 = raiz50 approx 7,071
E para v:
||v|| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,449

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula para achar o ângulo entre eles:
cos(theta) = u cdot v||u|| cdot ||v||
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 157,071 times 2,449 approx 1517,314 approx 0,866

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função inversa do cosseno, que é o arccos:
theta = arccos(0,866) approx 30°

Resposta

O ângulo entre os vetores u = (4, 3, 5) e v = (1, 2, 1) é aproximadamente 30 graus.

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