Questão 0.4. Determine a distância entre o plano e a reta (VALOR=3.0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica que pede para a gente encontrar a distância entre um plano e uma reta no espaço 3D. O enunciado nos dá a equação do plano e define a reta através de um sistema de duas equações:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a distância entre um plano e uma reta. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a reta [r). Ela é definida pelo sistema de duas equações lineares:
Para encontrar a equação paramétrica da reta, precisamos resolver esse sistema. Podemos resolver uma das equações em termos de uma variável e substituir na outra.
Vamos resolver a equação (2) para x:
Agora, substituímos (x] na equação (1):
Agora, podemos expressar [x), e em termos de um parâmetro, digamos :
Então, a equação paramétrica da reta (r] é:
Isso nos mostra que a reta tem um ponto fixo e um vetor diretor .
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano pi: 3x - y + 2z - 2 = 0. O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (3, -1, 2).
Para determinar a distância entre o plano e a reta, precisamos verificar se a reta é paralela ao plano ou não. Isso depende do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Calculamos o produto escalar entre v e n:
v cdot n = (0)(3) + (1)(-1) + (1)(2) = 0 - 1 + 2 = 1
Como o produto escalar não é zero (1 neq 0), a reta não é paralela ao plano. Isso significa que a reta intersecta o plano em algum ponto, e, portanto, a distância entre eles é zero.