Encontre um vetor w neq 0 que seja ortogonal tanto à u=(1,-1,1) quanto à v=(4,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor w que não seja o vetor nulo e que seja ortogonal tanto ao vetor u = (1, -1, 1) quanto ao vetor v = (4, 2, 3). Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente de vetores perpendiculares e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Ou seja, se w cdot u = 0 e w cdot v = 0.

Passo 3

Mas para facilitar, quando buscamos um vetor que é ortogonal a dois vetores dados, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de u e v nos dá exatamente um vetor que é perpendicular a ambos.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Aplicando os valores de u = (1, -1, 1) e v = (4, 2, 3):
w = u times v = ( (-1)(3) - (1)(2), (1)(4) - (1)(3), (1)(2) - (-1)(4) )

Passo 5

Agora vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
(-1)(3) - (1)(2) = -3 - 2 = -5
  • Segunda componente:
(1)(4) - (1)(3) = 4 - 3 = 1
  • Terceira componente:
(1)(2) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6

Passo 6

Então, o vetor w que é ortogonal a ambos u e v é:
w = (-5, 1, 6)

Resposta

Um vetor não nulo ortogonal a u e v é w = (-5, 1, 6).

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