Determine os valores de alpha in R para que os vetores u=(1,2,3) e v= (1,2, alpha) formem um ângulo agudo;

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar todos os valores de alpha in R para que os vetores u = (1,2,3) e v = (1,2,alpha) formem um ângulo agudo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos ajuda a determinar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o produto escalar de dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Esse produto escalar também está relacionado ao cosseno do ângulo theta entre os vetores através da fórmula:
u cdot v = |u| , |v| cos(theta)
Onde |u| e |v| são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Sabemos que o ângulo theta é agudo quando 0 < theta < dfracpi2 radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é positivo, ou seja, cos(theta) > 0. Portanto, para que os vetores formem um ângulo agudo, o produto escalar u cdot v deve ser positivo:
u cdot v > 0

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dos vetores dados:
u cdot v = (1)(1) + (2)(2) + (3)(alpha) = 1 + 4 + 3alpha = 5 + 3alpha
Para que o ângulo seja agudo, precisamos que:
5 + 3alpha > 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de alpha:
5 + 3alpha > 0 3alpha > -5 alpha > -dfrac53
Portanto, qualquer valor de alpha maior que -dfrac53 fará com que os vetores formem um ângulo agudo.

Resposta

alpha > -dfrac53

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