Determine os valores de
para que os vetores
e
formem um ângulo agudo;
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar todos os valores de
para que os vetores
e
formem um ângulo agudo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos ajuda a determinar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Esse produto escalar também está relacionado ao cosseno do ângulo
entre os vetores através da fórmula:
Onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 3
Sabemos que o ângulo
é agudo quando
radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é positivo, ou seja,
. Portanto, para que os vetores formem um ângulo agudo, o produto escalar
deve ser positivo:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar dos vetores dados:
Para que o ângulo seja agudo, precisamos que:
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de
:
Portanto, qualquer valor de
maior que
fará com que os vetores formem um ângulo agudo.