Calcule o ângulo entre os vetores nos casos abaixo:
\overrightarrow{\mathrm{a}}=(11,-12,-18) e \overrightarrow{\mathrm{b}}=(12,-21,23)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo θ entre os vetores \overrightarrow{a}=(11,-12,-18) e \overrightarrow{b}=(12,-21,23). O conteúdo que vamos usar é o produto escalar em \mathbb{R}^3 e as normas dos vetores, sabendo que
\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\|\;\|\overrightarrow{b}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} =11\cdot 12 + (-12)\cdot(-21) + (-18)\cdot 23.
Fazendo as contas:
11\cdot12 = 132,\quad (-12)\cdot(-21)=252,\quad (-18)\cdot23=-414,
logo
\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} =132 + 252 - 414 = -30.

Passo 3

Calcular as normas
\|\overrightarrow{a}\| =\sqrt{11^2 + (-12)^2 + (-18)^2} =\sqrt{121 + 144 + 324} =\sqrt{589},
\|\overrightarrow{b}\| =\sqrt{12^2 + (-21)^2 + 23^2} =\sqrt{144 + 441 + 529} =\sqrt{1114}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno
\cos\theta =\frac{-30}{\sqrt{589}\,\sqrt{1114}} \approx \frac{-30}{24{,}2899 \times 33{,}3760} \approx -0{,}0370.

Passo 5

Determinar o ângulo
\theta = \operatorname{arccos}(-0{,}0370) \approx 92{,}12^\circ.

Resposta

\theta \approx 92{,}12^\circ

Exercícios relacionados