Calcule o ângulo entre os vetores nos casos abaixo:
\overrightarrow{\mathrm{a}}=(-3,2,1) e \overrightarrow{\mathrm{b}}=(4,-4,-5)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \overrightarrow{a}=(-3,2,1) e \overrightarrow{b}=(4,-4,-5).
Para isso, vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores, pois vale
\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\|\;\|\overrightarrow{b}\|},
e então \theta = \operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 2

Calcular o produto escalar
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = (-3)\cdot4 + 2\cdot(-4) + 1\cdot(-5) = -12 - 8 - 5 = -25.

Passo 3

Calcular as normas:
\|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14},
\|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 16 + 25} = \sqrt{57}.

Passo 4

Montar o cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{-25}{\sqrt{14}\,\sqrt{57}} = \frac{-25}{\sqrt{798}}.

Passo 5

Determinar \theta:
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{-25}{\sqrt{798}}\biggr) \approx 2{,}65\\ \text{rad} \quad\text{(ou)}\quad \approx 152{,}1^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-25/\sqrt{798}\bigr)\approx 2{,}65\\ \text{rad}\approx 152{,}1^\circ

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