Calcule o ângulo entre os vetores nos casos abaixo:
\vec{a}=(1,-2,3) e \vec{b}=(2,-1,3)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores \vec{a}=(1,-2,3) e \vec{b}=(2,-1,3). O conteúdo é geometria no espaço e vamos usar produto escalar e norma de vetores para encontrar \theta.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}. Pela definição,
\vec{a}\cdot\vec{b} =1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) +3\cdot3 =2 +2 +9 =13.

Passo 3

Calcular as normas \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\|. Temos
\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 +(-2)^2 +3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14},
\|\vec{b}\| = \sqrt{2^2 +(-1)^2 +3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}.

Passo 4

Usar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos(\theta) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|} = \frac{13}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}} = \frac{13}{14}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{13}{14}\bigr)\approx 21,6^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{13}{14}\bigr)\approx 21,6^\circ.

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