O versor de um vetor v é um vetor \tilde{v} que tem mesma direção e sentido de v, mas com norma 1. Ache o versor do vetor (3,4). Dé exemplos de vetores ortogonais aos vetores acima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o versor (vetor unitário) do vetor (3,4) e, em seguida, dar exemplos de vetores ortogonais a ele. O conteúdo envolvido é normalização de vetores (cálculo de norma e divisão) e condição de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Primeiro calculamos a norma de v=(3,4). Pela definição,
\|v\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Passo 3

O versor \tilde{v} é o vetor v dividido pela sua norma:
\tilde{v} = \frac{1}{\|v\|}\,v = \frac{1}{5}(3,4) = \bigl(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 4

Para um vetor w=(a,b) ser ortogonal a v=(3,4), basta que o produto escalar seja zero:
v \cdot w = 3a + 4b = 0.
Qualquer par (a,b) que satisfaça essa equação é ortogonal a v. Como a ortogonalidade independe de escala, vale o mesmo para \tilde{v}.

Passo 5

Dois exemplos simples de vetores ortogonais a (3,4) e também a \bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr) são
w_1 = (4, -3),
w_2 = (-4, 3),
pois em ambos 3\cdot 4 + 4\cdot(-3) = 12 - 12 = 0.

Resposta

O versor de (3,4) é
\bigl(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\bigr).
Exemplos de vetores ortogonais são (4,-3) e (-4,3).

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