O versor de um vetor v é um vetor \tilde{v} que tem mesma direção e sentido de v, mas com norma 1. Ache o versor do vetor ( 1,0,3 ). Dé exemplos de vetores ortogonais aos vetores acima.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o vetor v=(1,0,3):
  1. O versor \tilde v de v, ou seja, o vetor paralelo a v com norma 1.
  2. Exemplos de vetores ortogonais a v (e, consequentemente, a \tilde v), usando o produto escalar.

Passo 2

Para achar o versor, primeiro calculamos a norma de v:
\lVert v\rVert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{10}.
O versor \tilde v é então v dividido pela sua norma:
\tilde v = \frac{1}{\lVert v\rVert}\,v = \frac{1}{\sqrt{10}}\,(1,0,3) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,0,\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 3

Um vetor w=(a,b,c) é ortogonal a v quando
v\cdot w = 1\cdot a + 0\cdot b + 3\cdot c = a + 3c = 0.
Basta escolher qualquer par (a,c) que satisfaça a=-3c e um b qualquer. Por exemplo:
- Se c=1 e b=0, então a=-3, dando w_1 = (-3,\,0,\,1).
- Se c=-1 e b=0, então a=3, dando w_2 = (3,\,0,\,-1).
Também podemos escolher a=0 e c=0 e b=1, que já dá
w_3 = (0,\,1,\,0),
pois v\cdot w_3 = 0.

Resposta

Versor de (1,0,3):
\tilde v = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,0,\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).
Alguns vetores ortogonais a v (e a \tilde v):
(-3,\,0,\,1),\quad (3,\,0,\,-1),\quad (0,\,1,\,0).

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