Calcule o ângulo entre os vetores e , sabendo que

Passo 1

O enunciado pede a medida do ângulo entre os vetores v e w, sabendo que
|u|=|w|=5, |v|=1, |,u - v + w| = |,u + v + w|
Vamos usar expansão de normas ao quadrado e produto escalar para relacionar as direções de u,v,w.

Passo 2

Primeiro elevamos ao quadrado a igualdade de normas:
|u - v + w|^2 ;=;|u + v + w|^2
Expandindo cada lado pelo produto escalar, lembrando que |a+b+c|^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2lang<= a,brang<=+2lang<= a,crang<=+2lang<= b,crang<=, obtemos
|u|^2+|v|^2+|w|^2 +2lang<= u,wrang<= -2lang<= u,vrang<= -2lang<= v,wrang<= &= |u|^2+|v|^2+|w|^2 +2lang<= u,wrang<= +2lang<= u,vrang<= +2lang<= v,wrang<=

Passo 3

Cancelam-se |u|^2, |v|^2, |w|^2 e 2lang<= u,wrang<= dos dois lados, sobrando
-2lang<= u,vrang<=-2lang<= v,wrang<= ;=; 2lang<= u,vrang<=+2lang<= v,wrang<= ;;Longrightarrow;; lang<= u,vrang<=+lang<= v,wrang<==0

Passo 4

Agora usamos lang<= u,vrang<==|u||v|cosalpha e lang<= v,wrang<==|v||w|cosbeta, onde
alpha=ang<=(u,v) e beta=ang<=(v,w). Como |u|=|w|=5 e |v|=1, temos
5cdot1cdotcosalpha ;+; 1cdot5cdotcosbeta ;=;0 Longrightarrow cosalpha+cosbeta=0

Passo 5

Da condição cosalpha+cosbeta=0 segue
cosbeta=-cosalpha Longrightarrow beta=arccos(-cosalpha)=pi-alpha

Resposta

O ângulo entre v e w é
boxedang<=(v,w)=pi-ang<=(u,v)

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