Sejam A(x1, y1) e B(x2, y2). Mostre que um ponto P(x, y) pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t in[0,1] tal que
l x=(1-t) x1+t x2 y=(1-t) y1+t y2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um ponto P(x,y) pertence ao segmento AB, com A(x1,y1) e B(x2,y2), se e somente se existe tin[0,1] tal que
x = (1-t)x1 + t,x2, y = (1-t)y1 + t,y2
O conteúdo aqui é geometria vetorial: usar a representação de segmento como combinação convexa (ou parámetro vetorial).

Passo 2

Definimos o segmento fechado de A a B como
AB = ,A + t,(B - A)mid tin[0,1],
Em coordenadas, B-A = (x2-x1,,y2-y1) e A=(x1,y1), então
A + t,(B-A) = l(x1+t(x2-x1),;y1+t(y2-y1)r)

Passo 3

(“ Rightarrow”) Suponha Pin AB. Então existe tin[0,1] tal que
P = A + t,(B - A)
Escrevendo em coordenadas,
(x,y) = l(x1+t(x2-x1),;y1+t(y2-y1)r)
Distribuindo,
x = x1 + t,x2 - t,x1 = (1-t)x1 + t,x2, y = (1-t)y1 + t,y2

Passo 4

(“ Leftarrow”) Agora suponha que exista tin[0,1] satisfazendo
x = (1-t)x1 + t,x2, y = (1-t)y1 + t,y2
Então
(x,y) = l(x1+t(x2-x1),;y1+t(y2-y1)r) = A + t,(B-A),
com tin[0,1]. Por definição de segmento, isso implica Pin AB.

Resposta

O ponto P(x,y) pertence ao segmento AB se, e somente se, existe tin[0,1] tal que
x = (1-t)x1 + t,x2, y = (1-t)y1 + t,y2

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