Encontre o menor ângulo entre as retas:
x+y+1=0 e a reta pelos pontos (1,2) e (-1,7)

Passo 1

O problema pede o menor ângulo entre duas retas no plano. Vamos precisar:
  1. Encontrar o coeficiente angular de cada reta.
  2. Usar a fórmula que dá o ângulo theta entre duas retas de coeficientes angulares m1 e m2:
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2|

Passo 2

Para a reta x + y + 1 = 0, escrevemos em forma explicita:
y = -x - 1,
logo o coeficiente angular é
m1 = -1

Passo 3

Para a reta que passa por (1,2) e (-1,7), usamos
m2 = y2 - y1x2 - x1 = 7 - 2-1 - 1 = 5-2 = -52

Passo 4

A fórmula do ângulo entre as retas é
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2|

Passo 5

Substituindo m1 = -1 e m2 = -tfrac52:
m2 - m1 = -tfrac52 - (-1) = -tfrac52 + 1 = -tfrac32,
1 + m1 m2 = 1 + (-1)cdotl(-tfrac52r) = 1 + tfrac52 = tfrac72
Portanto,
tantheta = |-tfrac32tfrac72| = 37

Passo 6

O menor ângulo (agudo) satisfaz
theta = arctan!l(tfrac37r)
Em graus, thetaapprox 23,2^circ.

Resposta

theta = arctan!l(tfrac37r)approx 23,2^circ

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