Calcule o ângulo entre os vetores \vec{u}=(1,1,2) e \vec{v}=(-1,1,-2).
Resp.: \theta=\operatorname{arccos} \left(-\frac{2}{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{u}=(1,1,2) e \vec{v}=(-1,1,-2),
e pede o ângulo \theta entre eles.
O conteúdo aqui é produto escalar e normas de vetores, pois sabemos que
\cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}.
\vec{u}\cdot\vec{v} =1\cdot(-1)+1\cdot1+2\cdot(-2) =-1+1-4 =-4.

Passo 3

Em seguida, achamos as normas de \vec{u} e de \vec{v}:
\|\vec{u}\| =\sqrt{1^2+1^2+2^2} =\sqrt{6}, \quad \|\vec{v}\| =\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2} =\sqrt{6}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula do ângulo:
\cos(\theta) =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} =\frac{-4}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} =\frac{-4}{6} =-\frac{2}{3}.
Logo,
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr).

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