Sejam u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} e u_{5} as colunas da matriz M. Encontre as coordenadas do vetor v=(1,2,-1,0,3) na base \mathcal{B}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}\right\}. Dica: verifique a possibilidade de usar Coeficientes de Fourier.

Passo 1

O enunciado diz que as colunas u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5} de uma matriz M formam uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^5 e pede as coordenadas de v=(1,2,-1,0,3) nessa base. Para isso, precisamos escrever
v = c_1\,u_1 + c_2\,u_2 + c_3\,u_3 + c_4\,u_4 + c_5\,u_5,
isto é, resolver o sistema matricial
M\begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\c_4\c_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Se a base fosse ortonormal poderíamos usar coeficientes de Fourier c_i = \langle v,u_i\rangle, mas de todo modo precisamos conhecer explicitamente M.

Passo 2

O enunciado não fornece nem a matriz M nem os vetores u_i. Sem esses dados não é possível montar o sistema M\,c=v nem calcular produtos internos \langle v,u_i\rangle. Logo não há como obter os valores de c_1,\dots,c_5.

Resposta

Não é possível determinar as coordenadas de v na base \mathcal{B} pois a matriz M (ou os vetores u_i) não foi fornecida.

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