Determine o vetor \vec{w} na igualdade
3 \vec{w}+2 \vec{u}=\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{w}
onde \vec{u}=(1,3) e \vec{v}=(-8,-12).
Resp.: \vec{w}=(-3,-6).

Passo 1

O enunciado dá a equação vetorial
3 \vec{w} + 2 \vec{u} = \tfrac12 \vec{v} + \vec{w}
com \vec{u}=(1,3) e \vec{v}=(-8,-12). O conteúdo aqui é resolver uma equação linear em \mathbb{R}^2 usando as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Isolamos os termos que contêm \vec{w}. Subtraindo \vec{w} de ambos os lados e recolhendo os vetores conhecidos, temos
3\vec{w} - \vec{w} + 2\vec{u} = \tfrac12 \vec{v} \quad\Longrightarrow\quad 2\vec{w} + 2\vec{u} = \tfrac12 \vec{v}
e então subtraindo 2\vec{u},
2\vec{w} = \tfrac12 \vec{v} - 2\vec{u}.

Passo 3

Calculamos separadamente cada parcela de \tfrac12 \vec{v} - 2\vec{u}:
\tfrac12 \vec{v} = \tfrac12\,(-8,-12) = (-4,-6),
2\vec{u} = 2\,(1,3) = (2,6),
então
\tfrac12 \vec{v} - 2\vec{u} = (-4,-6) - (2,6) = (-6,-12).

Passo 4

Ficamos com
2\vec{w} = (-6,-12).
Para obter \vec{w}, dividimos ambos os lados por 2:
\vec{w} = \tfrac12\,(-6,-12) = (-3,-6).

Resposta

\vec{w} = (-3,-6)

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