Determine \alpha tal que o vetor \vec{v}=\left(\alpha,-\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) seja unitário.
Resp.: \alpha= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de \alpha tal que o vetor \vec{v} = \bigl(\alpha,\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)
seja unitário, ou seja, tenha norma igual a 1. Vamos usar a definição de norma de um vetor em \mathbb{R}^3:
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\,,
e impor \|\vec{v}\|=1.

Passo 2

Escrevendo o quadrado da norma de \vec{v} e igualando a 1, temos
\|\vec{v}\|^2 = \alpha^2 + \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = \alpha^2 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{3}
e, por ser unitário,
\alpha^2 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{3} = 1.

Passo 3

Calculemos a soma das frações:
\tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9} + \tfrac{3}{9} = \tfrac{4}{9}.
Substituindo na equação,
\alpha^2 + \tfrac{4}{9} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^2 = 1 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}.
Tomando a raiz quadrada (lembrando do sinal \pm),
\alpha = \pm \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \pm \tfrac{\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\alpha = \pm \tfrac{\sqrt{5}}{3}

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