Calcule os ângulos diretores do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os ângulos diretores do vetor
. Isso faz parte da matéria de Vetores na matemática, mais especificamente sobre como determinar a direção de um vetor no plano. Para resolver isso, vamos precisar usar as funções trigonométricas, principalmente a tangente, e entender como aplicá-las para encontrar os ângulos em relação aos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ângulo diretor. No plano cartesiano, um vetor
tem dois ângulos diretores:
- Ângulo com o eixo x (
) - Ângulo com o eixo y (
)
Vamos calcular cada um desses ângulos passo a passo.
Passo 3
Vamos começar calculando o ângulo
que o vetor faz com o eixo x. Para isso, usamos a relação da tangente:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, para encontrar
, usamos a função arco-tangente:
Calculando isso, obtemos:
No entanto, como estamos trabalhando com ângulos diretores no plano, queremos um ângulo positivo. Então, adicionamos
(ou consideramos o quadrante adequado):
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo
que o vetor faz com o eixo y. Para isso, usamos uma relação semelhante, mas invertendo os componentes:
Substituindo os valores:
Passo 6
Usamos novamente a função arco-tangente para encontrar
:
Calculando isso, obtemos:
Assim como antes, ajustamos para um ângulo positivo:
Resposta
Os ângulos diretores do vetor
são aproximadamente:
-
em relação ao eixo x -
em relação ao eixo y