Calcule os ângulos diretores do vetor v=(6,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2). Isso faz parte da matéria de Vetores na matemática, mais especificamente sobre como determinar a direção de um vetor no plano. Para resolver isso, vamos precisar usar as funções trigonométricas, principalmente a tangente, e entender como aplicá-las para encontrar os ângulos em relação aos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ângulo diretor. No plano cartesiano, um vetor v = (a, b) tem dois ângulos diretores:
  1. Ângulo com o eixo x ( theta)
  2. Ângulo com o eixo y ( phi)
Vamos calcular cada um desses ângulos passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando o ângulo theta que o vetor faz com o eixo x. Para isso, usamos a relação da tangente:
tan(theta) = ba
No nosso caso, a = 6 e b = -2, então:
tan(theta) = -26 = -13

Passo 4

Agora, para encontrar theta, usamos a função arco-tangente:
theta = arctan(-13)
Calculando isso, obtemos:
theta approx -18,43^circ
No entanto, como estamos trabalhando com ângulos diretores no plano, queremos um ângulo positivo. Então, adicionamos 360^circ (ou consideramos o quadrante adequado):
theta approx 360^circ - 18,43^circ = 341,57^circ

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo phi que o vetor faz com o eixo y. Para isso, usamos uma relação semelhante, mas invertendo os componentes:
tan(phi) = ab
Substituindo os valores:
tan(phi) = 6-2 = -3

Passo 6

Usamos novamente a função arco-tangente para encontrar phi:
phi = arctan(-3)
Calculando isso, obtemos:
phi approx -71,57^circ
Assim como antes, ajustamos para um ângulo positivo:
phi approx 360^circ - 71,57^circ = 288,43^circ

Resposta

Os ângulos diretores do vetor v = (6, -2) são aproximadamente:
  • theta approx 341,57^circ em relação ao eixo x
  • phi approx 288,43^circ em relação ao eixo y

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