Mostre que a proposição (forall a, b in Z)(forall c in Z)[a <= b Long<=ftrightarrow a c <= b c] é falsa.

Passo 1

O enunciado afirma a proposição
(forall a,binZ)(forall cinZ)l[a<= biff ac<= bcr]
ou seja, “para quaisquer inteiros a,b,c, valeria sempre que a<= b se e somente se ac<= bc”. Precisamos mostrar que isso é falso.

Passo 2

Lembramos que, em teoria de desigualdades, multiplicar ambos os lados de a<= b por um número c preserva a desigualdade se c>0, mas inverte a desigualdade se c<0. Logo, sempre que c<0, não teremos
a<= bimplies ac<= bc,
e muito menos a bicondicional pedida.

Passo 3

Basta um contraexemplo com c<0. Por exemplo, seja
a=1, b=2, c=-1
Então 1<=2 é verdadeiro, mas
ac = 1cdot(-1) = -1 e bc = 2cdot(-1) = -2,
e -1<= -2 é falso. Assim a bicondicional falha.

Resposta

A proposição é falsa. Um contraexemplo é a=1, b=2, c=-1, pois 1<=2 mas 1cdot(-1)not<=2cdot(-1).

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