Dados vetores
e
, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, ao somar dois vetores
e
, o quadrado da norma da soma é igual à soma dos quadrados das normas individuais mais duas vezes o produto escalar deles. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre vetores e suas operações. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor e o produto escalar entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
, representada por
, é basicamente o comprimento do vetor. Ela é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Porém, como vamos trabalhar com o quadrado da norma, podemos simplificar e calcular apenas a soma dos quadrados das componentes.
Passo 3
Agora, consideremos a soma dos vetores
. A norma ao quadrado dessa soma é:
Isso significa que vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor resultante da soma.
Passo 4
Vamos expandir essa expressão usando a definição do produto escalar. Sabemos que:
Aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Passo 5
Então, mostrarmos essa igualdade envolve apenas aplicar a definição do produto escalar e expandir a norma da soma dos vetores. Isso confirma que a norma ao quadrado da soma é igual à soma das normas ao quadrado mais duas vezes o produto escalar dos vetores.
Resposta
Portanto, demonstramos que: