Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
|u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, ao somar dois vetores u e v, o quadrado da norma da soma é igual à soma dos quadrados das normas individuais mais duas vezes o produto escalar deles. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre vetores e suas operações. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor e o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor a, representada por |a|, é basicamente o comprimento do vetor. Ela é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Porém, como vamos trabalhar com o quadrado da norma, podemos simplificar e calcular apenas a soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Agora, consideremos a soma dos vetores u + v. A norma ao quadrado dessa soma é:
|u + v|^2
Isso significa que vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor resultante da soma.

Passo 4

Vamos expandir essa expressão usando a definição do produto escalar. Sabemos que:
|a + b|^2 = |a|^2 + 2 a cdot b + |b|^2
Aplicando isso aos vetores u e v, temos:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2 u cdot v + |v|^2

Passo 5

Então, mostrarmos essa igualdade envolve apenas aplicar a definição do produto escalar e expandir a norma da soma dos vetores. Isso confirma que a norma ao quadrado da soma é igual à soma das normas ao quadrado mais duas vezes o produto escalar dos vetores.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2 u cdot v + |v|^2

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