Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
|u-v|^2=|u|^2-2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, ao calcular o quadrado da norma da diferença de dois vetores u e v, a gente chega à expressão |u-v|^2 = |u|^2 - 2 u cdot v + |v|^2. Isso está dentro da matéria de álgebra vetorial, especificamente lidando com normas e produtos internos (ou ponto). Vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como funciona o produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como u, é basicamente o comprimento desse vetor e é calculada como |u| = raizu cdot u. Então, o quadrado da norma, |u|^2, é simplesmente u cdot u.

Passo 3

Agora, queremos calcular o quadrado da norma da diferença entre u e v, ou seja, |u-v|^2. Pela definição da norma, isso é igual a (u-v) cdot (u-v).

Passo 4

Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar:
(u-v) cdot (u-v) = u cdot u - u cdot v - v cdot u + v cdot v
Sabemos que o produto escalar é comutativo, então u cdot v = v cdot u. Assim, podemos simplificar:
u cdot u - 2 u cdot v + v cdot v

Passo 5

Substituindo de volta pela norma, temos:
|u|^2 - 2 u cdot v + |v|^2

Resposta

Então, mostramos que |u-v|^2 = |u|^2 - 2 u cdot v + |v|^2.

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