Dados vetores
e
, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, ao calcular o quadrado da norma da diferença de dois vetores
e
, a gente chega à expressão
. Isso está dentro da matéria de álgebra vetorial, especificamente lidando com normas e produtos internos (ou ponto). Vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como funciona o produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como
, é basicamente o comprimento desse vetor e é calculada como
. Então, o quadrado da norma,
, é simplesmente
.
Passo 3
Agora, queremos calcular o quadrado da norma da diferença entre
e
, ou seja,
. Pela definição da norma, isso é igual a
.
Passo 4
Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Sabemos que o produto escalar é comutativo, então
. Assim, podemos simplificar:
Passo 5
Substituindo de volta pela norma, temos:
Resposta
Então, mostramos que
.