Dados os vetores v=(3,-5) e u=(-2,8), decomponha v como v=v1+v2, sendo v1 | u e v2 perp u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decompor o vetor v = (3, -5) em dois vetores: v1 que é paralelo ao vetor u = (-2, 8) e v2 que é perpendicular a u. Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e propriedades de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção de v sobre u. Essa projeção será o vetor v1. A fórmula para a projeção de um vetor a sobre outro vetor b é:
Projb a = ( a cdot b|b|^2 ) b
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar, e |b| é o módulo (ou tamanho) do vetor b.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. Produto Escalar v cdot u:
v cdot u = 3 times (-2) + (-5) times 8 = -6 - 40 = -46
  1. Módulo de u ao Quadrado:
|u|^2 = (-2)^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68
  1. Calculando v1:
v1 = ( -4668 ) u = ( -4668 ) (-2, 8)
Simplificando a fração 4668 para 2334:
v1 = ( -2334 ) (-2, 8) = ( 4634, -18434 ) = ( 2317, -9217 )

Passo 4

Agora que temos v1, vamos encontrar v2 usando a relação:
v2 = v - v1
Substituindo os valores:
v2 = (3, -5) - ( 2317, -9217 ) = ( 3 - 2317, -5 - (-9217) )
Simplificando as componentes:
  1. Componente x:
3 - 2317 = 5117 - 2317 = 2817
  1. Componente y:
-5 + 9217 = -8517 + 9217 = 717
Então,
v2 = ( 2817, 717 )

Resposta

A decomposição do vetor v = (3, -5) é:
v = v1 + v2 = ( 2317, -9217 ) + ( 2817, 717 )
Onde:
  • v1 = ( 2317, -9217 ) é paralelo a u = (-2, 8)
  • v2 = ( 2817, 717 ) é perpendicular a u

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