Calcule as anti-transformadas de Laplace.
Q(s)=11(s+2)(s-2)

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
Q(s)=11(s+2)(s-2)
O que vamos usar:
  1. Decompor em frações parciais uma função racional em s.
  2. Saber que
L^-1gl1s-agr(t)=e^a t

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
11(s+2)(s-2) =As+2+Bs-2
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s-2), obtemos
11 = A(s-2) + B(s+2)

Passo 3

Para determinar A e B, escolhemos valores de s que anulem os parênteses:
  • Se s=2, vem 11 = A(2-2) + B(2+2) ;Longrightarrow; 11 = 4B ;Longrightarrow; B = tfrac114
  • Se s=-2, vem 11 = A(-2-2) + B(-2+2) ;Longrightarrow; 11 = -4A ;Longrightarrow; A = -tfrac114

Passo 4

Substituindo os coeficientes na decomposição e aplicando a anti-transformada termo a termo, temos
Q(s) =-tfrac114s+2 + tfrac114s-2
Longrightarrow f(t) =L^-1l-tfrac1141s+2r +L^-1ltfrac1141s-2r =-tfrac114e^-2t+tfrac114e^2t
Opcionalmente, podemos agrupar como função hiperbólica:
f(t)=114l(e^2t-e^-2tr) =112sinh(2t)

Resposta

f(t)=-tfrac114e^-2t+tfrac114e^2t ou f(t)=tfrac112sinh(2t)

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