Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (x-3)^nn

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-3)^nn. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
No nosso caso, an = (x-3)^nn, então:
an+1an = (x-3)^n+1n+1(x-3)^nn = (x-3)^n+1 cdot n(x-3)^n cdot (n+1) = |x-3| cdot nn+1

Passo 3

Agora, calculamos o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty |x-3| cdot nn+1 = |x-3| cdot limn to infty nn+1 = |x-3| cdot 1 = |x-3|
Para que a série convirja, precisamos que L < 1, então:
|x-3| < 1
Isso nos dá a condição para a convergência da série.

Passo 4

A partir da desigualdade |x-3| < 1 , podemos determinar o intervalo de x:
-1 < x - 3 < 1
Somando 3 em todos os termos:
2 < x < 4
Então, o intervalo preliminar de convergência é de 2 a 4.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os pontos finais x = 2 e x = 4 para ver se a série converge nesses valores.
Para x = 2:
sumn=1^infty (2-3)^nn = sumn=1^infty (-1)^nn
Esta é a série alternada -1/1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - dots, que converge pela Série Alternada de Leibniz.
Para x = 4:
sumn=1^infty (4-3)^nn = sumn=1^infty 1n
Esta é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é [2, 4) .

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