Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty x^n. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como determinar se elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série sumn=0^infty x^n é uma série geométrica. Nas séries geométricas, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é x.

Passo 3

Agora, para saber se uma série geométrica converge, a gente usa a seguinte regra: uma série geométrica sumn=0^infty r^n converge se, e somente se, o módulo da razão |r| for menor que 1. Se |r| >= 1 , a série não converge, ou seja, ela diverge.

Passo 4

Aplicando isso na nossa série, onde a razão r = x , temos que a série sumn=0^infty x^n vai convergir se |x| < 1 e vai diverge se |x| >= 1 .

Passo 5

O raio de convergência R é justamente esse valor que separa a região de convergência da de divergência. Como nossa condição é |x| < 1 , o raio de convergência é:
R = 1

Passo 6

O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge. Com base na condição |x| < 1 , o intervalo é:
(-1, 1)
Além disso, é importante verificar os pontos extremos x = -1 e x = 1 para ver se a série converge nesses valores.
  • Em x = 1 :
sumn=0^infty 1^n = 1 + 1 + 1 + dots
Essa série é uma soma infinita de 1’s, que claramente diverge.
  • Em x = -1 :
sumn=0^infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + dots
Essa é uma série alternada que não converge para nenhum valor fixo (ela oscila entre 0 e 1).
Portanto, nem x = -1 nem x = 1 estão incluídos no intervalo de convergência.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é (-1, 1).

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