Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como determinar se elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série
é uma série geométrica. Nas séries geométricas, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é
.
Passo 3
Agora, para saber se uma série geométrica converge, a gente usa a seguinte regra: uma série geométrica
converge se, e somente se, o módulo da razão
for menor que 1. Se
, a série não converge, ou seja, ela diverge.
Passo 4
Aplicando isso na nossa série, onde a razão
, temos que a série
vai convergir se
e vai diverge se
.
Passo 5
O raio de convergência
é justamente esse valor que separa a região de convergência da de divergência. Como nossa condição é
, o raio de convergência é:
Passo 6
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de
para os quais a série converge. Com base na condição
, o intervalo é:
Além disso, é importante verificar os pontos extremos
e
para ver se a série converge nesses valores.
- Em
:
Essa série é uma soma infinita de 1’s, que claramente diverge.
- Em
:
Essa é uma série alternada que não converge para nenhum valor fixo (ela oscila entre 0 e 1).
Portanto, nem
nem
estão incluídos no intervalo de convergência.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.