Calcule as anti-transformadas de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. O enunciado pede para encontrarmos as anti-transformadas de Laplace da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como inverter essas transformadas para voltar ao domínio do tempo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a função
em partes mais simples para facilitar a inversão. Temos duas frações:
e
. Vamos tratar cada uma delas separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
.
Sabemos que a transformada de Laplace de uma função constante
é
. Aqui, temos
, que é equivalente a
com
. Portanto, a inversa de
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Primeiro, podemos reescrever essa fração para ficar mais parecido com a forma padrão da transformada de Laplace. Observamos que:
Então, a fração fica:
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Comparando com o que temos, identificamos que
.
Portanto, a inversa de
é
. Multiplicando pela constante
, obtemos:
Passo 5
Finalmente, juntando as duas partes que encontramos, a solução completa da anti-transformada de Laplace de
é a soma das inversas das duas frações:
Resposta
A anti-transformada de Laplace de
é: