Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
G(s)=5 s-3s^2-2 s-3

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s)=5s-3s^2-2s-3
Usaremos decomposição em frações parciais para escrever G(s) como soma de termos cujas inversas já conhecemos pela tabela de Laplace.

Passo 2

Fatoramos o denominador
s^2-2s-3 = (s-3)(s+1)
Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Escrevemos
5s-3(s-3)(s+1) = As-3 + Bs+1
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+1), obtemos a identidade
5s-3 = A(s+1) + B(s-3)

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em
Comparando coeficientes com , formamos o sistema
Resolvendo, de . Substituindo em :
logo .

Passo 5

Substituindo A e B em G(s):
G(s) = 3s-3 + 2s+1
Usando que
L^-1ltfrac1s-ar = e^at,
temos
L^-1G(s) = 3,e^3t + 2,e^-t

Resposta

g(t) = 3e^3t + 2e^-t

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