a) Determine o domínio de .
b) Determine a derivada de .
Passo 1
O enunciado define a função de Bessel de ordem zero por sua série de potências
e pede:
a) o domínio de ,
b) a derivada .
Vamos usar o teste da razão para o domínio (raio de convergência da série) e depois diferenciar termo a termo (válido dentro do raio de convergência).
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série
Calculamos
Como esse limite é 0 (menor que 1) para todo x, a série converge para todo xinR. Logo o raio de convergência é infinito.
Passo 3
Dentro do raio de convergência podemos diferenciar termo a termo:
J0'(x) =sumn=1^infty(-1)^n,2n,x^2n-12^2n(n!)^2
Passo 4
Fazendo a mudança de índice m=n-1 na soma ou reconhecendo a série de J1(x), obtemos