A função de Bessel de ordem 0 é definida por
J0(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2
a) Determine o domínio de J0.
b) Determine a derivada de J0.

Passo 1

O enunciado define a função de Bessel de ordem zero por sua série de potências
J0(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
e pede:
a) o domínio de J0,
b) a derivada J0'(x).
Vamos usar o teste da razão para o domínio (raio de convergência da série) e depois diferenciar termo a termo (válido dentro do raio de convergência).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série
an=(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
Calculamos
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty|x|^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2; 2^2n(n!)^2|x|^2n =limntoinftyx^24(n+1)^2=0
Como esse limite é 0 (menor que 1) para todo x, a série converge para todo xinR. Logo o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Dentro do raio de convergência podemos diferenciar termo a termo:
J0'(x) =sumn=1^infty(-1)^n,2n,x^2n-12^2n(n!)^2

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n-1 na soma ou reconhecendo a série de J1(x), obtemos
J0'(x) =-sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12^2n+1,n!,(n+1)! =-J1(x)

Resposta

a) O domínio de J0 é todo o conjunto dos números reais R.
b)
J0'(x) =-sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12^2n+1,n!,(n+1)! =-J1(x)

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