Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
F(s)=2 s-5s^2-6 s+9

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento. O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o teorema de deslocamento. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas e aplicar o teorema de deslocamento corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
F(s) = 2s - 5s^2 - 6s + 9
Perceba que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2
Então, a função fica:
F(s) = 2s - 5(s - 3)^2

Passo 3

Agora, para aplicar o primeiro teorema do deslocamento, que diz:
Le^at f(t) = F(s - a)
Queremos encontrar a anti-transformada de F(s). Observamos que temos (s - 3) no denominador, o que sugere que a = 3 na aplicação do teorema.

Passo 4

Vamos reescrever F(s) em termos de (s - 3):
F(s) = 2s - 5(s - 3)^2 = 2(s - 3) + 1(s - 3)^2 = 2(s - 3)(s - 3)^2 + 1(s - 3)^2 = 2s - 3 + 1(s - 3)^2

Passo 5

Agora, separamos a fração em duas partes:
  1. 2s - 3
  2. 1(s - 3)^2
Vamos encontrar a anti-transformada de cada uma separadamente.

Passo 6

Para a primeira parte, sabemos que:
L^-11s - a = e^at
Aplicando isso, temos:
L^-12s - 3 = 2e^3t

Passo 7

Para a segunda parte, usamos a propriedade:
L^-11(s - a)^2 = te^at
Aplicando isso, obtemos:
L^-11(s - 3)^2 = te^3t

Passo 8

Finalmente, somamos as duas anti-transformadas encontradas:
L^-1F(s) = 2e^3t + te^3t

Resposta

A anti-transformada de F(s) é:
f(t) = 2e^3t + te^3t

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