Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento. O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o teorema de deslocamento. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas e aplicar o teorema de deslocamento corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
Perceba que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, para aplicar o primeiro teorema do deslocamento, que diz:
Queremos encontrar a anti-transformada de
. Observamos que temos
no denominador, o que sugere que
na aplicação do teorema.
Passo 4
Vamos reescrever
em termos de
:
Passo 5
Agora, separamos a fração em duas partes:
Vamos encontrar a anti-transformada de cada uma separadamente.
Passo 6
Para a primeira parte, sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 7
Para a segunda parte, usamos a propriedade:
Aplicando isso, obtemos:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas anti-transformadas encontradas:
Resposta
A anti-transformada de
é: