Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
K(s)=3 s+1(s-1)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
K(s)=3s+1(s-1),(s^2+1)
usando decomposição em frações parciais.
Para isso, vamos escrever
K(s)=As-1+B,s+Cs^2+1
e usar que
L^-1ltfrac1s-1r=e^t,
L^-1ltfracss^2+1r=cos t e
L^-1ltfrac1s^2+1r=sin t.

Passo 2

Multiplicamos a identidade proposta pelo denominador comum (s-1)(s^2+1):
3s+1 = A,(s^2+1)+(B,s+C),(s-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando com
Dessa forma .
E de resulta , logo

Passo 4

Substituindo os valores achados, a decomposição fica
K(s) = 2s-1 + -2,s+1s^2+1 = 2s-1 -2,ss^2+1 + 1s^2+1

Passo 5

Aplicando a anti-transformada termo a termo:
L^-1K(s) = 2,e^t ;-;2,cos t;+;sin t

Resposta

f(t)=2e^t-2cos t+sin t, t>=0

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