Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
D(s)=-5 s+19(s+1)(s-2)(s-3)

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
D(s)=-5s+19(s+1)(s-2)(s-3),
ou seja, queremos d(t)=L^-1D(s). Vamos usar decomposição em frações parciais para expressar D(s) como soma de termos da forma tfrac1s-a, cujas inversas são exponenciais simples.

Passo 2

Assumimos a forma
-5s+19(s+1)(s-2)(s-3) ;=; As+1+Bs-2+Cs-3
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s-2)(s-3) obtemos
-5s+19 ;=; A(s-2)(s-3)+B(s+1)(s-3)+C(s+1)(s-2)

Passo 3

Para determinar A, B e C aplicamos o método dos valores especiais:
– Em s=-1:
-5(-1)+19 =24 =Al((-1)-2r)l((-1)-3r)=Acdot(-3)cdot(-4)=12A ;Longrightarrow;A=2
– Em s=2:
-5cdot2+19=9 =Bl(2+1r)l(2-3r)=Bcdot3cdot(-1)=-3B ;Longrightarrow;B=-3
– Em s=3:
-5cdot3+19=4 =Cl(3+1r)l(3-2r)=Ccdot4cdot1=4C ;Longrightarrow;C=1

Passo 4

Substituindo os coeficientes achados, fica
D(s)=2s+1-3s-2+1s-3
Agora aplicamos a anti-transformada de Laplace, sabendo que
L^-1l1s-ar=e^at
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d(t)=2e^-t-3e^2t+e^3t, t>=0

Resposta

d(t)=2e^-t-3e^2t+e^3t

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