Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência (como o teste da razão).
O que vamos precisar: Aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar os pontos finais para determinar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observe que:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. O teste da razão diz que para uma série , o limite:
determina a convergência:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não conclui.
Aplicando isso na nossa série:
an = n3 ( x+23 )^n
Calculamos an+1:
an+1 = n+13 ( x+23 )^n+1
Agora, vamos ao limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)/3 cdot ( x+23 )^n+1n/3 cdot ( x+23 )^n |
Simplificando:
L = limn to infty | n+1n cdot x+23 | = | x+23 | cdot limn to infty ( 1 + 1n ) = | x+23 |
Para que a série convirja, queremos que L < 1:
| x+23 | < 1
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
| x+23 | < 1 implies -1 < x+23 < 1
Multiplicando tudo por 3:
-3 < x + 2 < 3
Subtraindo 2:
-5 < x < 1
Então, o raio de convergência é 3 (já que | x+23 | < 1), e o intervalo de convergência preliminar é (-5, 1).
Passo 5
Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.