Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência (como o teste da razão).
O que vamos precisar: Aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar os pontos finais para determinar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observe que:
n(x+2)^n3^n+1 = n3 ( x+23 )^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty n3 ( x+23 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. O teste da razão diz que para uma série sum an, o limite:
L = limn to infty | an+1an |
determina a convergência:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui.
Aplicando isso na nossa série:
an = n3 ( x+23 )^n
Calculamos an+1:
an+1 = n+13 ( x+23 )^n+1
Agora, vamos ao limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)/3 cdot ( x+23 )^n+1n/3 cdot ( x+23 )^n |
Simplificando:
L = limn to infty | n+1n cdot x+23 | = | x+23 | cdot limn to infty ( 1 + 1n ) = | x+23 |
Para que a série convirja, queremos que L < 1:
| x+23 | < 1

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
| x+23 | < 1 implies -1 < x+23 < 1
Multiplicando tudo por 3:
-3 < x + 2 < 3
Subtraindo 2:
-5 < x < 1
Então, o raio de convergência é 3 (já que | x+23 | < 1), e o intervalo de convergência preliminar é (-5, 1).

Passo 5

Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Para x = -5:
Substituindo na série:
sumn=0^infty n(-5+2)^n3^n+1 = sumn=0^infty n(-3)^n3^n+1 = sumn=0^infty n(-1)^n3
Isso simplifica para:
13 sumn=0^infty n(-1)^n
Esta série não converge, pois os termos não tendem a zero e alternam de sinal sem diminuir em módulo.
Para x = 1:
Substituindo na série:
sumn=0^infty n(1+2)^n3^n+1 = sumn=0^infty n3^n3^n+1 = sumn=0^infty n3
Isso simplifica para:
13 sumn=0^infty n
Esta série também não converge, pois é uma série divergente (soma de todos os n diverge).

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência da série é (-5,,1).

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