Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é séries de potências e para resolver vamos usar o teste da raiz para obter o raio
e depois analisar a convergência nos pontos extremos
.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz, calculamos
A série converge se este limite for menor que 1, ou seja,
Logo o raio de convergência é
Passo 3
Em
x=1/3 o termo geral fica
Como
l|(-1)^n/raizn+1r| é decrescente para
n grande e tende a zero, a série alternante converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Passo 4
Em
x=-1/3 o termo geral é
que é uma série p com
p=1/2<=1 e diverge. Portanto não há convergência em
x=-1/3 .
Resposta
Raio de convergência:
R=tfrac13
Intervalo de convergência:-tfrac13<x<= tfrac13
Intervalo de convergência: