Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (-3)^n x^nraizn+1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-3)^nx^nraizn+1
O conteúdo é séries de potências e para resolver vamos usar o teste da raiz para obter o raio R e depois analisar a convergência nos pontos extremos x=pm R.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]|(-3)^nx^nraizn+1| =limntoinfty3|x|(n+1)^1/(2n) =3|x|
A série converge se este limite for menor que 1, ou seja,
3|x|<1 Longrightarrow |x|<13
Logo o raio de convergência é
R=13

Passo 3

Em x=1/3 o termo geral fica
(-3)^n,(1/3)^nraizn+1 =(-1)^nraizn+1
Como l|(-1)^n/raizn+1r| é decrescente para n grande e tende a zero, a série alternante converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Passo 4

Em x=-1/3 o termo geral é
(-3)^n,(-1/3)^nraizn+1 =1raizn+1,
que é uma série p com p=1/2<=1 e diverge. Portanto não há convergência em x=-1/3.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac13
Intervalo de convergência: -tfrac13<x<= tfrac13

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