Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty x^n(2 n)!

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=0^inftyx^n(2n)!,
e pede o seu raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências, que diz que
R = 1limntoinftyl|an+1anr|
quando esse limite existir, sendo an=1(2n)!.

Passo 2

Calculemos
l|an+1anr| = 1(2n+2)!1(2n)! = (2n)!(2n+2)! = 1(2n+2)(2n+1)
Multiplicando pelo fator |x| que vem de x^n+1/x^n, o teste da razão avalia
L = limntoinftyl|x^n+1/(2n+2)!,x^n/(2n)!,r| = limntoinfty|x|(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Como
limntoinfty|x|(2n+2)(2n+1) = 0
para todo x finito, temos L=0. Pelo teste da razão, a série converge sempre que L<1, e aqui isso vale para qualquer xinR.

Passo 4

Do teste da razão temos
R = 1L = 10 = infty,
ou seja, o raio de convergência é infinito e a série converge em todo R.

Resposta

Raio de convergência: R = infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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