Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
J(s)=1s^3+4 s^2

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
J(s)=1s^3+4s^2,,
ou seja, calcular j(t)=L^-1J(s) usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, repartir em frações simples e depois aplicar tabelas básicas de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para ver os polos:
s^3+4s^2=s^2(s+4),

Passo 3

Escrevemos então a decomposição em frações parciais padrão para polo duplo em s=0 e polo simples em s=-4:
1s^2(s+4) =As+Bs^2+Cs+4,

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por s^2(s+4) e obtemos a identidade de polinômios
1 = A,s(s+4) ;+; B,(s+4);+; C,s^2,
Expandindo o lado direito:
A s^2+4A s + B s +4B + C s^2 =(A + C),s^2 + (4A + B),s + 4B

Passo 5

Comparando coeficientes com o polinômio constante
Da última equação vem , logo . E de segue .

Passo 6

Substituindo os coeficientes na decomposição,
J(s) =-116,1s +14,1s^2 +116,1s+4
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
L^-1tfrac1s=1,
L^-1tfrac1s^2=t e
L^-1tfrac1s+4=e^-4t.

Resposta

j(t) =-116cdot 1 +14,t +116,e^-4t =14,t+116l(e^-4t-1r)

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