Teste a série
sumn=1^infty(nn+1)^n
quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an,
onde
an = l(nn+1r)^n
Como primeiro passo, vamos examinar o comportamento de an quando ntoinfty, pois um teste fundamental é: se limntoinftyanneq0, a série diverge.

Passo 2

Calculemos
limntoinftyan = limntoinftyl(nn+1r)^n = limntoinfty1l(1+tfrac1nr)^n = 1e
Aqui usamos o fato clássico de que
limntoinftyl(1+1nr)^n=e

Passo 3

Como
limntoinftyan=1eneq 0,
o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência (ou teste do termo geral), a série
sumn=1^inftyan
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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